En esta entrada comienza una serie de disertaciones sobre el Settlers. Tras varias partidas jugadas, es hora de coger el toro por los cuernos e intentar desentrañar las tripas del juego. Podrán pensar ustedes que es algo sin sentido, o bien para qué vale, o bien que la teoría es sólo papel mojado. Siéntanse libre de pensar también: you are such a nerd! En estas cortas pero productivas vacaciones he estado haciendo muchas cosas productivas y algunas improductivas, entre ellas, pensando sobre el Settlers. Esta entrada, y las siguientes, van dirigidas a aquéllos que conozcan el juego de mesa The Settlers of Catan y alguna vez se han preguntado algo sobre él. En caso de que nunca lo hayan jugado, cierren esta ventana, no miren atrás, y no se arrepientan de ello: estas entradas no van con ustedes. Alego en mi defensa que no es un juego de rol ni soy un fan de los elfos ni de los dragones, aunque no olvido lo políticamente correcto y digo bajo luz y taquígrafos: nada tengo contra los juegos de rol. Éste es un juego de mesa sobre estrategias de cooperación y negociación, ideal para aquellos que sientan una especial querencia por el dilema del prisionero, o simplemente, y mucho más prosaico e importante, un gusto sano por estar con los amigos pasando un buen rato.

La historia de la ciencia es la historia de las buenas preguntas: se avanza preguntando, y las respuestas no son lo importante. La historia de las creencias y del conocimiento revelado es la historia de las buenas respuestas: se avanza a medida que se profundiza en las respuestas. Piensen por ejemplo en la Física y en la Religión y encontrarán grandes preguntas y grandes respuestas, respectivamente. Este punto de partida tan interesante, que me dará para una próxima  entrada (a ver si cuido mi blog algo más y la meto en este 2008…) me vale para decirles que sobre el Settlers me he hecho preguntas no muy interesantes con respuestas interesantes; así que infiero por ello que los juegos de mesa o de azar tienen más de religión que de ciencia, lo cual no esta mal para estos tiempos de relativismo. Mejor creer en el azar que en el zodiaco, en cualquier caso; a fin y al cabo, los fenómenos aleatorios están presentes entre nosotros desde que el mundo es mundo: un ejemplo clásico y muy íntimo: las mutaciones aleatorias de genes, pasadas por el tamiz del medio - selección natural - han hecho que a algunas especies les salgan cuernos o que otras vuelen hacia el sur en invierno ¿Por qué denostar todo aquello que tenga que ver con el azar? ¿Simplemente porque no lo controlamos? Aún así, sólo hay una cosa peor que emperrarse en controlar racionalmente lo incontrolable: querer controlar el azar con supercherías o supersticiones, intentando atraer con ellas la buena suerte (fenómenos aleatorios que nos sonríen) o alejar la mala suerte (fenómenos aleatorios que no nos sonríen) Ok, acepto de buen grado lo de you are such a nerd, pero antes de destripar el juego, blando mi espada y esgrimo: ¡viva el azar!

Primera Pregunta: ¿Cuántos partidas distintas podemos jugar al Settlers?

Como bien saben los jugadores de Settlers, el juego está compuesto por 19 hexágonos terrestres y 18 marítimos, que se colocan de manera aleatoria cada vez y es uno de los grandes aciertos de juego: el escenario es cada vez distinto. Ahora bien, ¿cuántas partidas distintas dan de sí estas combinaciones? ¿mil? ¿diez mil? ¿varios millones? ¡hala!, exclamará alguno, no será para tanto…bueno, veamos cuántas son.

Para entrar en esa cuestión, si hay algún lector que lleve algún tiempo alejado de las matemáticas, le recuerdo la así llamada regla del producto: dada una opción con M alternativas, otra con N alternativa, otra con P alternativas etc , la opción conjunta tendrá M x N x P x… alternativas. Por ejemplo, y por si hay alguna amable lectora leyendo esto: si tengo 4 camisas, 3 faldas y 2 pares de zapatos, tendré 4 x 3 x 2 = 24 combinaciones posibles de vestimentas distintas…aunque a lo mejor eso no les dice nada, y hasta les parecerá poquísimo, si justo tienen que elegir una combinación para esa noche en la que coincidirán con el chico que tanto les gusta.  Bien, quizá he elegido mal el ejemplo.

Les pongo otro, aunque un poquito más complicado: las lotería del tipo loto en las que para ganar hay que acertar una posible combinación de seis números elegidos entre cuarenta. Tenemos una lista de 40 números y 6 para elegir. Para el primer número, tenemos 40 alternativas distintas; una vez elegido el primero, para el segundo número tendremos 39, puesto que ya hemos descartado uno; para el tercero 38, pues ya se han descartado dos etc. Se infiere fácilmente por la regla del producto que tendremos 40 x 39 x 38 x 37 x 36 x 35 = 2.763.633.600 maneras distintas de escoger los seis números. Sin embargo, puede que sólo nos interese la colección de números y no el orden en que se han escogido; entonces tenemos que dividir 2.763.633.600 por las distintas maneras que hay para ordenar los seis números que forman la apuesta. Quiero decir con esto que una apuesta del tipo 1-7-13-6-25-38 es igual a efectos de la apuesta a otra que contenga los mismos números pero en distinto orden, por ejemplo 7-25-13-38-6-1, o a otra por ejemplo 25-7-13-38-6-1 ¿Cuántas maneras distintas tenemos de ordenar los seis números que forman la apuesta? Por la regla del producto tenemos 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 maneras distintas (yo les he puesto sólo tres ejemplos de los setecientos veinte posibles) Luego cuando el orden no importa, hay que dividir el número de maneras distintas de escoger los seis números (2.763.633.600) entre las distintas maneras de ordenar los seis números que forman cada apuesta (720), para obtener así  el número de apuestas distintas (en este caso 2.763.633.600 / 720 = 3.838.380 formas distintas de dar con el número premiado en la lotería. Piénsenlo dos veces la próxima vez que decidan dejar mucho dinero en la loto)

En el Settlers tenemos un tablero de fichas terrestres formado por una hilera de 3 hexágonos; debajo, una hilera formada por 4 hexágonos; debajo una hilera de 5 hexágonos; debajo una hilera de 4 hexágonos, y debajo una formada por 3 hexágonos. Así pues, tenemos un bonito panal hexagonal formado por 3 + 4 + 5 + 4 + 3 = 19 hexagonitos, que a efectos de colocación podemos colocar todos en una hilera horizontal. Tenemos por tanto 19 casillas que cubrir, parecido al ejemplo anterior de la loto ¿Con qué las cubriremos? Tenemos 4 hexágonos de Madera (M), 4 de Trigo (T), 4 de Oveja (O), 3 de Piedra (P), 3 de Ladrillo (L) y 1 de Desierto (D), en total 4M +  4T + 4O + 3P + 3L + 1D = 19. Por tanto, 19 casillas para rellenar con 19 piezas (lógicamente) Al ser hexágonos, se podrán girar y eso multiplicaría las maneras de colocarlos. Sin embargo, una pieza girada de la manera que sea no va a dar una combinación distinta, luego no se considera esa opción. Para la primera casilla, tenemos 19 opciones; para la segunda, tendremos 18, pues una ya fue escogida una para la primera opción; para la tercera tenemos 17, para la cuarta 16 etc. De esto, y por la ya famosa regla del producto, tenemos 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 19! (un diecinueve con una exclamación no significa que sea un diecinueve contento de serlo, ni un grito por mi parte para que mantengan la atención, sino la expresión matemática para escribir toda esa retahíla de números de manera abreviada; se denomina factorial, y es el productorio de un número por uno menos que él por dos menos que él por tres menos que él …. hasta llegar a uno)

Sin embargo, como el ejemplo de la lotería, hay que trabajar un poco más en esto para llegar a la solución. Hay piezas indistinguibles entre sí. Por ejemplo, fijémonos en el ladrillo (L), que tiene 3 hexágonos (L1, L2, L3) Es evidente darse cuenta que una combinación formada por ejemplo de la siguiente forma: ..L1….L2..L3 (en donde los puntos suspensivos expresan las otras piezas cualesquiera: madera, ovejas, trigo…) es igual a ..L2….L3..L1, pues los ladrillos son todos iguales. Por tanto, hay que dividir las distintas maneras de colocar las 19 fichas entre las 3 x 2 x 1 = 3! = 6 maneras de ordenar los tres ladrillos. Del mismo modo, también hay que dividir entre las 3! maneras de ordenar las tres piedras y las 4! maneras de ordenar las cuatro ovejas,  maderas y trigos de la partida.

Por tanto, las distintas maneras de ordenar las piezas terrestres de la partida son:

19! / (3!x3!x4!x4!x4!x4!) = 244.432.188.000 maneras posibles

  Este número que ya quisiera yo para mi cuenta corriente viene siendo aproximadamente doscientos cuarenta y cuatro mil millones de maneras distintas de colocar las fichas terrestres. Y aún nos quedan las marítimas, aunque poco importa casi ya, pues el número es tan grande que hasta marea.

Para las piezas marítimas, nos damos cuenta que tenemos 9 piezas con símbolos y 9 con mar, colocadas de manera intercalada. Podemos esquematizar la operación colocando las 9 piezas con símbolos y ordenarlas así, sabiendo que entre cada una de ellas habrá una pieza de mar (que son indistinguibles entre sí). De las 9 piezas con símbolos tenemos  4 con el símbolo 3:1 (A), 1 con el símbolo 2:1 de Madera (B), 1 con el símbolo 2:1 de Ladrillo (C), 1 con el símbolo 2:1 de Oveja (D), 1 con el símbolo 2:1 de Trigo (E) y 1 con el símbolo 2:1 de Piedra (F). Así pues, tendremos 9 casillas que cubrir con 9 piezas distintas, de las cuales 4 son indistinguibles entre sí (A), lo que nos da:

                                                                                         9!/4! = 15.120

maneras distintas de colocar las piezas marítimas, sabiendo que siempre van intercaladas entre ambas una de agua. Sin embargo, hay un dato más que añadir: 6 de estas piezas marítimas tendrán 2 orientaciones posibles, dependiendo de a qué arista del hexágono queramos orientar el hexágono, luego a las 15.120 maneras posibles hay que multiplicarlas por 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 64, obteniendo por tanto: 967.680 maneras distintas de ordenar los hexágonos de mar.

Así pues, el número completo y final de las partidas distintas que podemos jugar al Settlers  vendrá de multiplicar las combinaciones de las fichas terrestres con las marítimas:

                                                                    19! / (3!x3!x4!x4!x4!x4!) x 9!/4! x 2^6 = 2,36 x 10^17

en donde 10^17 significa 10 elevado a 17.

Sepan que:

2,36 x 10 elevado a 6 = 2,36 millones

2,36 x 10 elevado a 12 es = 2,36 mil millones

2,36 x 10 elevado a 15 es = 2,36 billones

2,36 x 10 elevado a 17 es = 236 billones

Por tanto:

¿Y las letras? ¿Y los números? Las piezas redonditas, vamos. Las instrucciones dicen que, una vez colocado el tablero, se coloca una letra al azar (de la A a la R) en el centro del tablero, y se colocan en forma de espiral siguiendo las agujas del reloj. De la A a la R van 18 letras, y como el el hexágono del Desierto va a estar por ahí siempre dando la lata de 19 maneras posibles, habrá 18 x 19 = 342 maneras distintas de colocar las letras. Poca cosa comparada con la barroca cifra anterior que, en cualquier caso, nos define el número de partidas distintas (sabemos que en 2,36x10^17 / 342 = 6,9x10^14 se va a repetir la configuración de las letras, pero la partida será otra, pues el tablero es distinto)

236 billones. Piensen un poco in such a number. El planeta Tierra, por ejemplo, se formó hace 4.650 millones de años, o lo que es lo mismo, hace 4,65 x 10 ^12  años. Esto quiere decir que si jugásemos aproximadamente 50.750 partidas diarias desde que se formó la Tierra hasta nuestros días, podríamos haber jugado todas las posibles combinaciones de partidas distintas que da de sí el Settlers  Los habitantes del planeta actualmente somos 6.000 millones, lo cual siginfica que si cada uno de nosotros jugase a 39 millones de partidas distintas y distintas entre sí en su vida, cuando todos dejemos el planeta, se habrían jugado todas las combinaciones posibles. Aunque claro, jugar a 39 millones de partidas del Settlers, a partes de ser un signo evidente de ludopatía o frikismo y de aconsejarles que los bares están llenos de mujeres guapas con las que mejor perder el tiempo, sería virtualmente imposible pues no hay vida suficiente para hacerlo (hagan sus cálculos).

¿Y la probabilidad de repetir alguna vez? Porque no siempre vamos a estar pendiente de buscar la partida distinta a la anterior.

Sobre probabilidades hablaremos en la siguiente entrada. Sobre dados, recorridos de probabilidad y estrategias. Si han llegado hasta el final, además de ser unos hérores, seguro que les interesará. Y por favor, cualquier comentario, corrección,  sugerencia o más buenas preguntas o más buenas respuestas del tema, no duden en comunicármelo.